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：在一个
周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅
中是否有你已经认识的
。你的主向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附
近角落的
士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主是正确
的。
然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个
，看是否有你认识的。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费
要多得多。这是这种一般现象的一个例子。
与此类似的是，如果某告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的
乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因式分解为3607
乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器 容易验证这是对的。不管我们编写程
序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提
示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。
它是斯蒂文·考克（stephencook）于1971年陈述的。
千僖难题之二霍奇（hodge）猜想：二十世纪的数学家们发现了研究复杂
对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对
象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是
变得如此有用，使得它可以用许多 不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工
具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进
展。
不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，
必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓
影代数簇这
种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何
部件的（有理线
）组合
千僖难题之三庞加莱（poincare）猜想：如果我们伸缩围绕一个苹果表
面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩
为一个点。另一方面，如果我们想
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